Líneas equipotenciales del potencial efectivo en el sistema de referencia giratorio en donde están marcados los puntos de Lagrange gravitatorios. Foto: Alan Stonebraker, NASA.
Hay soluciones de paquetes de ondas a la ecuación de Schrödinger que describe partículas localizadas viajando en órbitas como si fueran planetas o como en la vieja teoría cuántica de Bohr.
Hay resultados y noticias que nacen huérfanos. Una noticia sobre Botánica tendrá menos éxito que una sobre Zoología, una sobre un organismo ediacarense menos que una sobre un dinosaurio, una de Matemáticas menos que una sobre Informática y una sobre Física Teórica tendrá menos éxito que una sobre Astrofísica… Incluso se puede hacer todo un ranking de clasificación sobre todas las categorías del conocimiento humano y elegir las más populares. Después se puede alimentar el sistema editorial de turno sólo con ellas y así dar a la mayoría de la gente sólo lo que le guste y tener éxito económico. Este razonamiento y su contrario son peligrosos, porque podemos justificar la telebasura o bien el inútil y “artístico” cine subvencionado.
Los intentos por explicar las profundas diferencias entre los mundos cuántico y clásico, incluso con algo tan sencillo como el sistema solar y un átomo de hidrógeno.
La Física brinda soluciones sencillas a problemas sencillos, si disponemos de la teoría adecuada, claro. Si queremos resolver el átomo de hidrógeno sólo tenemos que resolver la ecuación de Schrödinger para el potencial coulombiano. Éste nos da la energía potencial que tendría una unidad eléctrica dentro de un campo eléctrico producido por una carga puntual. Para un protón y un electrón (el átomo de hidrógeno) la resolución de la ecuación de Schrödinger proporciona los niveles de energía del electrón y permite calcular los orbitales atómicos. Sí, esas regiones lobuladas o esféricas en donde es más probable encontrar al electrón y que todos vimos en los libros de texto de bachillerato.
El potencial coulombiano, por meras consideraciones geométricas, disminuye inversamente con el cuadrado de la distancia y es proporcional a la carga. Es decir, es matemáticamente equivalente a la ley de gravitación universal que es inversamente proporcional a la distancia y directamente proporcional a la masa (con la constante constante de gravitación universal G como constante de proporcionalidad).
No importa que el campo gravitatorio sea muchos órdenes de magnitud más débil que el eléctrico, matemáticamente los dos problemas son iguales. Es más, con una elección adecuada de sistema de unidades la resolución de la ecuación de Schrödinger para el potencial gravitatorio y el coulombiano es exactamente la misma.
Y es aquí donde empiezan los problemas de comparación. La Tierra no forma orbitales alrededor de Sol donde es más fácil encontrarla, ni tiene niveles de energía gravitatoria discretos. Si la Tierra se mostrara cuánticamente desde el punto de vista gravitatoria incluso podría formar un orbital “s” esférico. No, la Tierra (o los demás planetas) no forman orbitales, forman órbitas elípticas muy bien definidas con cualquier nivel de energía en donde el planeta está localizado en una posición determinada y precisa en cada instante de tiempo.
Puede ser que al lector le parezca excesiva esta comparación de átomos y sistema planetarios, pero es que los físicos son así de raros y les gusta poder comparar cosas de tamaños tan dispares como un sistema solar y un átomo desde que compararon una manzana cayendo del árbol y la Luna orbitando la Tierra. A quien le disguste esto que piense en un experimento mental en el cual creamos un universo infinito y vacío en el que depositamos dos partículas no cargadas que sólo interaccionan gravitatoriamente. En un sistema así no existe ninguna otra fuerza salvo la gravitatoria. Estas partículas pueden muy pequeñas y no necesitan ser planetas. Sus masas y fuerza de atracción existen aunque sean casi insignificantes y deben, por tanto, formar un sistema ligado gravitatorio. El tamaño de este “átomo gravitatorio” puede ser arbitrario, así como el tiempo característico en el que evoluciona. Bajo estas consideraciones, y bajo la Mecánica Cuántica (MC), este sistema debería de tener soluciones iguales a las del átomo de hidrógeno, aunque no sepamos que clase de bosones (¿gravitones?) se emitirían cuando este “átomo gravitatorio” cambiase de un estado excitado a uno de energía más baja.
También se puede llevar el razonamiento al revés y preguntarse si los electrones de los átomos tienen que estar necesariamente no localizados en orbitales. ¿Por qué no tenemos átomos clásicos con electrones localizados que orbiten alrededor del núcleo en órbitas elípticas como hacen los planetas? O en definitiva, ¿cuándo deja el mundo de ser cuántico para pasar a ser clásico o viceversa?
Reparemos aquí en que normalmente interesa empujar experimentalmente el límite cuántico hacia la dirección clásica, es decir macroscópica, con la esperanza de ver a la realidad macroscópica comportarse de manera extraña debido a sus propiedades cuánticas. Pero nos damos cuenta de que también nos puede interesar empujar el límite clásico hacia el lado cuántico, es decir, hacia el lado microscópico, para forzar a ese mundo a ser clásico y que deje de ser tan “raro”. Curiosamente no sabemos muy bien hasta dónde podemos empujar estos límites. o límite, que en el fondo es el mismo.
Este problema es tan obvio que ya intrigó a Schrödinger en 1926, al poco de proponer su famosa ecuación de evolución. Junto a Hendrik Lorentz se planteó si había soluciones de paquetes de ondas* a la ecuación que describieran electrones localizados viajando en órbitas elípticas como partículas clásicas (planetas) o como en la vieja teoría cuántica de Bohr. Llegaron a la conclusión que tales soluciones no existían porque la ecuación era dispersiva para el potencial de Coulomb y cualquier paquete de ondas inicial localizado se dispersa al cabo de poco tiempo dejando de estar localizado.
En experimentos llevados a cabo desde mediados de los ochenta se ha venido demostrando esta dispersión de los paquetes de funciones de ondas que definen a los electrones. De hecho, se vio que estos paquetes se dispersaban a lo largo de la órbita e interferían consigo mismos, produciendo un patrón elaborado de paquetes originales y fracciones del mismo.
Ahora H. Maeda, J. H. Gurian y T. F. Gallagher consigue demostrar en el laboratorio que es posible encontrar una solución a este problema de la dispersión de los paquetes de función de onda electrónicos usando un truco que los astrofísicos descubrieron hace mucho tiempo y que incluso ahora es usado por los ingenieros aeroespaciales.
Un planeta orbitando alrededor del Sol permite la existencia de ciertos puntos orbitales especiales en donde si se coloca un cuerpo éste permanecerá fijo o estacionario respecto al sistema de referencia planeta-Sol. Es decir, mantiene siempre la misma posición respecto a ambos cuerpos. Son los famosos puntos de Lagrange, de los que hay cinco (ver foto). En Astronáutica se sabe esto y en algunos de esos puntos colocamos precisamente ciertos satélites artificiales o sondas espaciales. También es conocido que en el sistema Júpiter-Sol hay dos de esos puntos que están ocupados por los asteroides troyanos. Hay puntos de Lagrange inestables y puntos de Lagrange estables en donde la energía potencial es mínima.
En 1994 Bialynicki-Birula y colaboradores mostraron teóricamente que los puntos de Lagrange podrían ser reproducidos en el sistema del potencial de Coulomb aplicando un campo de microondas circularmente polarizado y giratorio sincronizado con el paquete de funciones de onda del electrón en un estado altamente excitado (un átomo de Rydberg). Entonces el paquete debía de permanecer localizado cerca del punto del Lagrage mientras orbitase alrededor del núcleo de manera indefinida. Es decir, se produciría un “átomo clásico”. El efecto de la Tierra en el análogo gravitatorio sería equivalente al papel realizado por este campo de microondas.
Una de las suposiciones fundamentales en MC es el principio de correspondencia formulado por Niels Bohr. Dice que la MC debe de reducirse a la Mecánica Clásica en el límite macroscópico. En el caso de los paquetes de onda no está muy claro este límite macroscópico.
De hecho en el caso del paquete de ondas tipo Rydberg las series de decaimientos y reapariciones de la función de ondas original es una característica de la estructura de energía cuantizada y persiste en átomos tan excitados como se desee siempre y cuando no estén sujetos a un ruido (se entiende que es ruido electromagnético y no sonoro) de alta frecuencia, siendo inmunes al ruido de baja frecuencia. Este tipo de ruido de baja frecuencia simplemente deforma adiabáticamente (es un término termodinámico que viene a decir que se produce para todo instante un cambio reversible) las órbitas sin perturbar el periodo orbital. El nuevo paquete de ondas no se dispersa y parece escapar al problema descrito antes, proporcionando un límite clásico a un átomo aislado.
Tengamos en cuenta que algunos puntos de Lagrange son puntos de equilibrio (al igual que en el caso gravitatorio) en el marco de referencia giratorio con el campo, y recordemos que algunos (los estables) son mínimos locales. El electrón puede efectuar oscilaciones pequeñas (libraciones) alrededor del punto de equilibrio estable. Este movimiento por sí mismo está sujeto a cuantización. Uno podría esperar ver los efectos de estos niveles de cuantización nuevos en experimentos cuidadosamente controlados a lo largo de tiempos lo suficientemente largos. Sería interesante ver estos efectos en experimentos futuros y empujar el elusivo límite macroscópico incluso aún más.
Obviamente el problema astronómico equivalente no tiene un campo externo aplicado.
Uno también puede preguntarse si un átomo de dos electrones tiene estados análogos a los puntos de Lagrange clásicos. La analogía no es exacta porque dos electrones tienen unas masas minúsculas comparadas con el núcleo y una atracción gravitatoria casi nula comparada con la atracción coulombiana ejercida por el núcleo. Más aún, los electrones se repelen entre sí debido a que tienen la misma carga, mientras que la gravedad es siempre atractiva. A pesar de estas distinciones hay, de alguna manera, estados análogos. Aunque sistemas de este último tipo no han sido observados en laboratorio han sido estudiados teóricamente. Quizás los veamos algún día.
De entrada ya se han realizado los primeros experimentos con paquetes localizados en átomos de Rydberg, aunque sólo se han observado órbitas inestables autoinizantes. La búsqueda de Lorentz y Schrödinger se está realizando finalmente, pero despacio y de una forma diferente a la que ellos dos imaginaron.
La enigmática fronteras entre estos los mundos clásico y cuántico sigue estando ahí.
http://physics.aps.org/articles/v2/19
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